\(BC=BD+DC=15+20=35\left(cm\right)\)
△ABC có: AD là phân giác.
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go trong △ABC vuông tại A, ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2=35^2=1225\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=1225\)
\(\Rightarrow\dfrac{25}{16}AC^2=1225\)
\(\Rightarrow AC^2=784\Rightarrow AC=28\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}.28=21\left(cm\right)\)
*Tính AD:
Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E.
Ta có: \(\widehat{DAB}=\widehat{ABE};\widehat{CAD}=\widehat{AEB};\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AEB}\) \(\Rightarrow\)△ABE cân tại A.
Mà △ABE cũng vuông tại A
\(\Rightarrow\)△ABE vuông cân tại A.
\(\Rightarrow BE=AE\sqrt{2}=AB\sqrt{2}\)
△BEC có: AD//BE.
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BE}=\dfrac{AC}{CE}\) (hq định lí Ta-let)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB\sqrt{2}}=\dfrac{AC}{AC+AE}=\dfrac{AC}{AC+AB}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{2}.\dfrac{AB.AC}{AB+AC}=\sqrt{2}.\dfrac{21.28}{21+28}=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)
