Ta có : \(P=a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)
Gỉa sử : \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)là 3 số lẻ \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)lần lượt bằng \(2x+1;2y+1;2z+1\left(x;y;z\in N\right)\)
\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\left(x+y+z\right)+3⋮2\)( vô lí )
Suy ra tồn tại 1 số chẵn trong 3 số \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow x⋮2\Leftrightarrow x=2\)
Đưa bài toán về tìm số tự nhiên \(a,b,c\)sao cho \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2abc+2=\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)\left(ab+ca+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow2abc+2\ge8abc\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow abc=0\)nên tồn tại 1 số 0 ( nếu tồn tại 2 số thì \(x=0\)nên loại )
Gỉa sử \(c=0\Rightarrow x=ab\left(a+b\right)=2\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(1,1,0\right)\)và hoán vị thì x là số nguyên tố
