Question

Tìm a,b để phương trinh x^2 +ax+b=0 Có 2 nghiệm x1,x2 tm {x1-x2=5 và x1^3 -x2^3=35

Answer 1

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=5\\x_1^3-x_2^3=35\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=5\\\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=35\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=5\\5^3+3x_1x_2.5=35\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=5\\x_1x_2=-6\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1=5+x_2\\\left(5+x_2\right)x_2=-6\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1=5+x_2\\x_2^2+5x_2+6=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1=5+x_2\\\left(x_2+3\right)\left(x_2+2\right)=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1=5+x_2\\x_2+3=0\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x_1=5+x_2\\x_2+2=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1=5-3=2\\x_2=-3\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x_1=5-2=3\\x_2=-2\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2-3=-1\\x_1x_2=-6\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3-2=1\\x_1x_2=-6\end{cases}}\)

Nếu x₁, x₂ là nghiệm của pt tm \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-6\end{cases}}\)là nghiệm của pt x² + x - 6 = 0 = > a = 1; b = -6

Nếu x₁, x₂ là nghiệm của pt tm \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1x_2=-6\end{cases}}\) là nghiệm của pt x² - x - 6 = 0 => a = -1 , b = -6

Answer 2

\(x_1^3-x_2^3=\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow35=5^3+3x_1x_2.5\Leftrightarrow x_1x_2=-6\)

\(x_1-x_2=5\Leftrightarrow x_1=5+x_2\)

suy ra \(\left(5+x_2\right)x_2=-6\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_2=-2\Rightarrow x_1=3\\x_2=-3\Rightarrow x_1=2\end{cases}}\)

Với \(x_1=3,x_2=-2\Rightarrow x_1+x_2=1\)

thì \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của phương trình: \(x^2-x-6=0\).

Với \(x_1=2,x_2=-3\Rightarrow x_1+x_2=-1\)

thì \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của phương trình: \(x^2+x-6=0\).