Theo bdt bunhiacopxki
\(T^2=\left(x\sqrt{4-y^2}+y\sqrt{4-z^2}+z\sqrt{4-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(12-x^2-y^2-z^2\right)\)
Đặt \(x^2+y^2+z^2=t\), bài toán ban đầu trở thành
Cho t thuộc khoảng [0;12] tìm max của \(T^2=t\left(12-t\right)\)
Ta có\(\left(t-6\right)^2\ge0\Leftrightarrow t^2-12t+36\ge0\Rightarrow t^2-12t\ge-36\Rightarrow-t^2+12t\le36\)
\(\Rightarrow t\left(12-t\right)\le36\Leftrightarrow T^2\le36\Rightarrow T\le6\) Vậy max=6, dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)
\(\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\)
ĐK:\(x\ge0,y\ge0\)
+)Nếu \(x=0\)thì suy ra \(y=0\).Do đó \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
+)Nếu \(x>0\)thì:
\(\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\Rightarrow x+\sqrt{x}=y^2\Rightarrow\sqrt{x}=y^2-x.\Rightarrow\sqrt{x}\)là số nguyên dương.
Đặt \(\sqrt{x}=t\)(t thuộc N*).Khi đó \(x=t^2\)và \(t^2+t=y^2.\)
Nhưng \(t^2< t^2+t=y^2< \left(t+1\right)^2.\)Điều này không xảy ra.
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right).\)
cho x+y+z=4
cmr \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge1\)
BL
TA CẦN CM \(\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge x\)
mà x=\(4-\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4-\left(y+z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+\frac{1}{z}-2+z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)
CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)
ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)
TA CÓ:
\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:
\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)
ta có bđt cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\Leftrightarrow\sqrt{xy+z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge1+\sqrt{xy}\)
Áp dụng bđt bu nhi ta có
\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\) (1)
mà x+y+z=1\(\Rightarrow xy+z=xy+z\left(x+y+z\right)=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
áp dụng bu nhi a ta có \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\) (2)
từ (1) và (2) => \(\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge x+y+z+\sqrt{xy}=1+\sqrt{xy}\)
theo định lí đi dép tổ ong thì 2 trong 3 số x-2;y-2;z-2 cùng dấu
giả sử \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\ge0\Leftrightarrow xy-2\left(x+y\right)+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-2\left(6-z\right)+4\ge0\)
<=>xy-8+2z>(=)0
<=>xyz+2z^2-8z>(=)0
<=>xyz>(=)8z-2z^2
\(x^2-xy+y^2\ge\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(6-z\right)^2}{4}=\frac{z^2}{4}-3z+9\)
xz+yz=z(x+y)=x(6-z)=6z-z2
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\ge\frac{z^2}{4}-3z+9+z^2+z^2-6z+8z-z^2=\frac{z^2}{4}-z+9=\left(\frac{z}{2}-1\right)^2+8\ge8\)
Cho các số thực dương x,y,z t/m \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)
Tìm Min T \(=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2\)
Cho các số thực dương x,y,z t/m \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)
Tìm Min T \(=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2\)
Cho các số thực dương x,y,z t/m \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\) 1
Tìm Min T \(=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2\)
ta có : \(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự ta đc \(y^2+1=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)
\(z^2+1=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
ĐẶt \(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+y^2\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+z^2\right)}}\)
\(\Rightarrow A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
