Question

\(\text{Chứng minh rằng nếu }x_1\text{ và }x_2\text{ là hai nghiệm khác nhau của đa thức :}\)

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\text{ thì }P\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)

Answer 1

x₁ ; x₂ là 2 ngiệm của P(x) => P(x₁) = P (x₂) = 0 

=> ax₁² + bx₁ + c = ax₂² + bx₂ + c = 0  

=> ax₁² + bx₁ + c - ( ax₂² + bx₂ + c) = 0 

<=> a. (x₁² - x²₂ ) + b.(x₁ - x₂)  = 0 <=> a. (x₁ - x₂). (x₁ + x₂) + b.(x₁ - x₂) = 0 

<=>  (x₁ - x₂). [ a.(x₁ + x₂) + b ] = 0 mà x₁ ; x₂ khác nhau nên  a.(x₁ + x₂) + b = 0 => b = - a.(x₁ + x₂)   (*)

+) ax₁² + bx₁ + c =  0  => c = - ( ax₁² + bx₁)  = - x₁. (ax₁ + b)  = - x₁ . (-ax₂)  = ax₁. x₂   (Do (*))

vậy c = ax₁.x₂    (**)

Thay b ; c  từ (*) và (**) vào P(x) ta được P(x) = ax² -ax.(x₁ + x₂) + ax₁.x₂ =  ax² - ax.x₁ - ax.x₂ + ax₁.x₂

= ax. (x - x₁)  - ax₂ . (x - x₁) = (ax - ax₂). (x - x₁) = a. (x - x₂). (x - x₁)  => ĐPCM