Tam giác nhọn ABC, có AB<AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia BE lấy điểm G sao cho BG=AC; trến tia đối của tia CF lấy điểm H sao cho CH=AB. Trên tia đối của tia tia CF lấy điểm H sao cho CH=AB
a) CMR: \(\Delta AGB=\Delta HAC\)
b) CM \(AG⊥AH\)
c) Gọi M là trung điểm của GH, N là giao điểm của BC và GH
- Cm: \(\widehat{OAM}=\widehat{BNG}\)
- So sánh số đo 2 góc ^BAM=^MAC
Mk làm ok câu a và b rùi. Giúp mk câu c nha. Thanks nhìu !!!!!!!!!! ^^
Ta có AB < AC, mà AC = BG nên AB < BG. Do đó ^AGB < ^GAB, mà ^AGB = ^HAC (câu a) nên ^HAC < ^GAB (1).
Tam giác AGH cân tại A, đường trung tuyến AM => ^GAM = ^HAM (2).
Từ (1) và (2) => ^BAM = ^GAM - ^GAB < ^HAM - ^HAC = ^MAC.
c) Từ câu a => tam giác AGH cân tại A, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao nên AM vuông góc GH.
Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại O nên O là trực tâm của tam giác ABC. Do đó AO vuông góc BC.
AM cắt BC tại K, ta thấy ^OAM = 90 độ - ^AKB; ^BNG = 90 độ - ^MKN; hai góc AKB và MIN đối đỉnh với nhau nên ^OAM = ^BNG.
Ý sau đợi mình suy nghĩ ^^^
Hai góc AKB và MKN đối đỉnh với nhau, nhầm :v
a) Xét tam giác ABE vuông tại E và tam giác ACF vuông tại F có:
\(\hept{\begin{cases}BAC+ABE=90\\BAC+ACF=90\end{cases}}\) => ABE=ACF
=> 180-ABE=180-ACF =>ABG=HCA
Xét tam giác AGB và tam giác HAC có:
AB=HC (gt)
ABG=HCA (CMT)
GB=AC (gt)
=> Tam giác AGB= Tam giác HAC (c.g.c) (ĐPCM)
b)Theo a, có: Tam giác AGB= Tam giác HAC
=> GAB=AHC (hai góc tương ứng)
Xét tam giác AFH vuông tại F có :
FAH+AHC=90 (định lí tổng 3 goác 1 tam giác )
=> FAH+GAB=90 (vì GAB=AHC cmt)
=>GAH=90 =>AG vuông góc với AH (ĐPCM)
c) Theo a, có: Tam giác AGB= Tam giác HAC
=> AG=HA ( hai cạnh tương ứng)
=> Tam giác AGH cân tại A
Mà M là trung điểm của GH => AM là trung tuyến đồng thời là đường cao
=> AM vuông góc với GH
=> AMN=90 =>Tam giác MIN vuông tại M
=>MIN+IMN+MNI=180 (định lí tổng ba góc 1 tam giác)
=>MNI=180-90-MIN=90-MIN (1)
Gọi giao điểm của AO và BC là K, giao điểm của AM và BC là I
Vì O là giao điểm hai đường vuông góc BE và CF của tam giác ABC nên AO là đường vuông góc thứ ba của tam giác này
=> AKN=90 => Tam giác AKI vuông tại K
=> IAK+AKI+AIK=180
=>IAK=180-90-AIK=90-AIK (2)
Từ (1) và (2) có: MNI=90-MIN, IAK=90-AIK
Mà MIN và AIK đối đỉnh => MNI=IAK =>BNG=OAM (ĐPCM)
d)
Ta có AB < AC mà AC = BG
=> AB < BG
=>AGB < GAB mà AGB = HAC (câu a)
=>HAC < GAB (1)
Tam giác AGH cân tại A, đường trung tuyến AM
=> GAM = HAM (2).
Từ (1) và (2) => BAM = GAM - GAB < HAM - HAC = MAC (ĐPCM)
