Question

Tam giác ABC nội tiếp (O) . Các đường cao AA1 ; BB1 ; CC1 cắt nhau tại H . Đường thẳng AA1 cắt (O) ở K khác A

a, Cmr : A1 là trung điểm HK

b, tính HA/AA1 + HB/BB1 + HC/CC1

c, gọi  M là hình chiếu của O trên BC . Đường thẳng BB1 cắt (O) tại E , kéo dài MB1 cắt AE tại N . CMR: AN/NE = (AB1/EB1)^2

Answer 1

a, Có : ^BCK = ^BAK ( chắn cung BK )

           ^BAK = ^BCH (Phụ ^ABC)

 => ^HCA₁ = ^A₁CK

=> CA₁ là phân giác ^HCK

Tam giác HCK có CA₁  vừa là đường cao vừa là phân giác

=> \(\Delta\)HCK cân tại C

=> CA₁ là trung tuyến

=> A₁ là trung điểm HK

b,\(\frac{HA}{AA_1}+\frac{HB}{BB_1}+\frac{HC}{CC_1}=1-\frac{HA_1}{AA_1}+1-\frac{HB_1}{BB_1}+1-\frac{HC_1}{CC_1}\)

                                               \(=3-\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

                                               \(=3-1\)

                                                 \(=2\)

c,D \(OM\perp BC\)tại M nên M là trung điểm BC

Xét \(\Delta\)BB₁C vuông tại B₁ có B₁M là trung tuyến

=> B₁M = MB = MC

=> ^MBB₁ = ^MB₁B

    và ^MB₁C = ^MCB₁

Mà ^B₁AE = ^B₁BC (Chắn cung EC)

      ^MB₁C = ^AB₁N (đối đỉnh)

       ^BB₁M + ^CB₁M = 90^o

=> ^NAB₁ + ^NB₁A = 90^o

=> \(B_1N\perp AE\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB_1^2=AN.AE\)

\(EB_1^2=EN.EA\)

\(\Rightarrow\frac{AB_1^2}{EB_1^2}=\frac{AN.AE}{EN.EA}=\frac{AN}{EN}\)