Question

tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác AD, đường trung tuyến BM và đường cao CH đồng quy. CMR : góc A > 45 độ

Answer 1

Ta giả sử \(\widehat{A}< 45^o\)

Gọi Hx là tia đối của tia HA.

trên Hx lấy HE = HA thì \(\widehat{CEA}=\widehat{CAE}\le45^o\). Do đó : \(\widehat{ACE}\ge90^o\)

Mà \(\widehat{ACB}>\widehat{ACE}\) vô lí ( trái với giả thiết cho \(\widehat{ACB}< 90^o\))

Gọi O là giao điểm của AD,BM,CH. Gọi F là giao điểm của EO và AC.

\(\Delta EAC\)có EA > EC ( vì EA đối diện với góc lớn hơn ) mà EF là phân giác của \(\widehat{AEC}\) , dễ chứng minh ) nên AF > FC

\(\Rightarrow AF>\frac{AC}{2}\). M là trung điểm của AC nên M nằm giữa A và F  nên B thuộc tia Ex

Do đó : \(\widehat{ACB}>\widehat{ACE}\)mà \(\widehat{ACE}\ge90^o\)nên \(\widehat{ACB}>90^o\)( trái với giả thiết )

Vậy \(\widehat{A}>45^o\)