Question

Tam giác ABC cân tại A (góc À tù). Trên tia đối của tia AC lấy điểm T. Qua T kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại N. Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp tam giác ATN luôn đi qua một điểm cố định khác A.

Answer 1

Gọi O là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)ABC. Ta sẽ chứng minh O thuộc (ATN).

Ta có \(\Delta\)ABC cân tại A có tâm ngoại tiếp O => ^OAC = ^OAB = ^OBA => ^OAT = ^OBN

Ta thấy ^NBM = ^ABC = ^ACB = ^NMB (Do MN // AC) => \(\Delta\)MNB cân tại N => BN = MN

Lại có AN // TM, AT // MN suy ra tứ giác ATMN là hình bình hành => MN = AT

Do đó BN = AT, kết hợp với ^OAT = ^OBN, OA = OB suy ra \(\Delta\)OTA = \(\Delta\)ONB (c.g.c)

=> ^OTA = ^ONB = ^ONA => Bốn điểm O,A,T,N cùng thuộc một đường tròn

Hay đường tròn (ATN) luôn đi qua điểm O cố định (đpcm).