Ta có $\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\le2\sqrt{a}$\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)^2\le\left(2\sqrt{a}\right...

Tìm kiếm câu trả lời Tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi của bạn

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM

Chọn lớp:

Chọn môn:

Gửi câu hỏi ẩn danh

titanic

3 tháng 9 2018 lúc 13:03

Ta có $\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\le2\sqrt{a}$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)^2\le\left(2\sqrt{a}\right)^2$$\Leftrightarrow a+b+a-b+2.\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\le4a$

$\Leftrightarrow2a+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\le4a$

$\Leftrightarrow-2a+2.\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\le0$$\Leftrightarrow-\left(2a-2.\sqrt{\left(a+b\right).\left(a-b\right)}\right)\le0$

$\Leftrightarrow a+b+a-b-2.\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\ge0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\right)^2\ge0$( luôn đúng nên suy ra điều phải chứng minh )

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Các câu hỏi tương tự

Bưu Ca

27 tháng 10 2019 lúc 12:34

CMR $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a,b\ge0$

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Nguyễn Thiều Công Thành

7 tháng 8 2017 lúc 9:41

ta có:(a-b)2(17a2+10ab+9b2)()0Leftrightarrowsqrt{2aleft(a+bright)^3}lefrac{5}{2}a^2+frac{3}{2}b^2áp dụng cô si ta có:2bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{4b^2+2left(a^2+b^2right)}{2}Rightarrow bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{1}{2}a^2+frac{3}{2}b^2Rightarrowsqrt{2aleft(a+bright)^3}+bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{5}{2}a^2+frac{1}{2}a^2+frac{3}{2}b^2+frac{3}{2}b^23left(a^2+b^2right)

Đọc tiếp

ta có:(a-b)²(17a²+10ab+9b²)>(=)0

$\Leftrightarrow\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2$

áp dụng cô si ta có:

$2b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{4b^2+2\left(a^2+b^2\right)}{2}$

$\Rightarrow b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2$

$\Rightarrow\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}+b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2+\frac{3}{2}b^2=3\left(a^2+b^2\right)$

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

An Đinh Khánh

26 tháng 6 2023 lúc 15:37

Rút gọn biểu thứca) dfrac{left(sqrt{a}-sqrt{b}right)^2+4sqrt{ab}}{left(sqrt{a+sqrt{b}}right)^2-4sqrt{ab}}.dfrac{a-b}{left(sqrt{a}-sqrt{b}right)^2} left(đkxđ:ane b;age0;bge0right)b) dfrac{a+b-2sqrt{ab}}{sqrt{a}-sqrt{b}}-dfrac{a-b}{left(sqrt{a}+sqrt{b}right)^2}left(đkxđ:ane b;age0;bge0right)HELP ME PLSSSSSSSSSS

Đọc tiếp

Rút gọn biểu thức

a) $\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\right)^2-4\sqrt{ab}}.\dfrac{a-b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}$ $\left(đkxđ:a\ne b;a\ge0;b\ge0\right)$

b) $\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{a-b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}$$\left(đkxđ:a\ne b;a\ge0;b\ge0\right)$

HELP ME PLSSSSSSSSSS

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán

Không Tên

14 tháng 3 2020 lúc 14:46

@Cool Kid:a^3+b^3+c^3+3abcgeSigma absqrt{2left(a^2+b^2right)}LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{sqrt{2left(a^2+b^2right)}+a+b}Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là: LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{2left(a+bright)}Ta cần chứng minh: VT-VPSigmafrac{left(a+b-cright)^2left(a-bright)^2}{2left(a+bright)}-frac{left(a-bright)^2left(b-cright)^2left(c-aright)^2}{2left(a+bright)left(b+cright)...

Đọc tiếp

@Cool Kid:

$a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}$

$\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}$

Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là:

$\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}$

Ta cần chứng minh: $VT-VP=\Sigma\frac{\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0$

Giả sử $a\ge c\ge b$ và đặt $a=b+u+v,c=b+v$

Bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-Schwawrz:

$VT-VP\ge\frac{4\left(c+a-b\right)^2\left(c-a\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0$

Last inequality is: https://imgur.com/tRsHOfr (mình không gửi ảnh được nên gửi link vậy!)

Done!

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Nguyễn Thiều Công Thành

20 tháng 6 2018 lúc 21:16

dễ cm frac{9left(a+bright)left(b+cright)left(c+aright)}{4left(ab+bc+caright)}ge2left(a+b+cright)2sqrt{a^2-ab+b^2}2sqrt{left(frac{a^2}{b}-a+bright)b}le a^2-a+2btừ đó bđt cần cm a+b+cge ab+bc+calại có ab+bc+ca+abcle4Leftrightarrowleft(a+2right)left(b+2right)left(c+2right)leleft(a+2right)left(b+2right)+...Leftrightarrowfrac{1}{a+2}+frac{1}{b+2}+frac{1}{c+2}ge1Leftrightarrowfrac{a}{a+2}+frac{b}{b+2}+frac{c}{c+2}le1Leftrightarrowfrac{left(a+b+cright)^2}{a^2+b^2+c^2+2left(a+b+cright)}lefrac{a}{a+2}+f...

Đọc tiếp

dễ cm $\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}\ge2\left(a+b+c\right)$

$2\sqrt{a^2-ab+b^2}=2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)b}\le a^2-a+2b$

từ đó bđt cần cm <=> $a+b+c\ge ab+bc+ca$

lại có $ab+bc+ca+abc\le4$

$\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\le\left(a+2\right)\left(b+2\right)+...$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\ge1$

$\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\le1$

$\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\le\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\le1$

$\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca$

=>Q.E.D

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

huynh tan viet

15 tháng 1 2018 lúc 13:13

giải pt sau bằng các định lý : fleft(xright)gleft(xright)Leftrightarrowleft[fleft(xright)right]^{2k+1}left[gleft(xright)right]^{2k+1}sqrt[2k+1]{fleft(xright)}gleft(xright)Leftrightarrow fleft(xright)left[gleft(xright)right]^{2k+1}sqrt[2k+1]{fleft(xright)}sqrt[2k+1]{gleft(xright)}Leftrightarrow fleft(xright)gleft(xright)sqrt[2k]{fleft(xright)}gleft(xright)Leftrightarroworbr{begin{cases}gleft(xright)0fleft(xright)left[gleft(xright)right]^{2k}end{cases}}sqrt[2k]{fleft(xright)}sqrt[2k]{gleft(xright)...

Đọc tiếp

giải pt sau bằng các định lý : $f\left(x\right)=g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[f\left(x\right)\right]^{2k+1}=\left[g\left(x\right)\right]^{2k+1}$

$\sqrt[2k+1]{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^{2k+1}$

$\sqrt[2k+1]{f\left(x\right)}=\sqrt[2k+1]{g\left(x\right)}\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$

$\sqrt[2k]{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}g\left(x\right)>0\\f\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\right]^{2k}\end{cases}}$

$\sqrt[2k]{f\left(x\right)}=\sqrt[2k]{g\left(x\right)}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(x\right)\ge0\\g\left(x\right)\ge0\\f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{cases}}$hoặc

a) $\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}=\sqrt{3x+12}$

b)$\left(x+3\right)\cdot\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12$

c) $\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}$

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Nguyễn Minh Phương

15 tháng 7 2017 lúc 15:08

Các bn xem bài này mk làm đúng khônga)left(frac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{ab}right)left(frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{a-b}right)^21VTleft(frac{asqrt{a}+bsqrt{b}-sqrt{ab}left(sqrt{a}+sqrt{b}right)}{sqrt{a}+sqrt{b}}right)left(frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{a-b}right)^2 left(frac{asqrt{a}+bsqrt{b}-asqrt{b}-bsqrt{b}}{sqrt{a}+sqrt{b}}right)left(frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{a-b}right)^2 left(frac{left(asqrt{a}-asqrt{b}right)+left(asqrt{b}-bsqrt{b}right)}{sqrt{a}+sqrt{b}}right)left(frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{a...

Đọc tiếp

Các bn xem bài này mk làm đúng không

a)$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2=1$

VT=$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2$

=$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2$

=$\left(\frac{\left(a\sqrt{a}-a\sqrt{b}\right)+\left(a\sqrt{b}-b\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2$

=$\left(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a-b\right)}{\sqrt{a+\sqrt{b}}}\right)\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}$

= $\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1\Rightarrow\left(=VP\right)$

b)$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=a-b$

VT=$\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\sqrt{a}+\sqrt{b}=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$

=$a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}-b=a-b\Rightarrow\left(=VP\right)$

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

HoangHuy

28 tháng 5 2019 lúc 17:23

$sum left ( frac{a^{2}}{b}-2a+b right )geq frac{4left ( a-b right )^{2}}{a+b+c}$ (1) $Leftrightarrow sum frac{left ( a-b right )^{2}}{b}geq frac{4left ( a-b right )^{2}}{a+b+c}$ $VTgeq frac{left ( left | a-b right |+left | b-c right |+left | c-a right | right )^{2}}{a+b+c}$ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $left | a-b right |minleft { left | a-b right |;left | b-c right |;left | c-a right | right }$ Khi đó ta suy ra $left | a-b right |+left | b-c right |+left...

Đọc tiếp

$\sum \left ( \frac{a^{2}}{b}-2a+b \right )\geq \frac{4\left ( a-b \right )^{2}}{a+b+c}$ (1)

$\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{b}\geq \frac{4\left ( a-b \right )^{2}}{a+b+c}$

$VT\geq \frac{\left ( \left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right | \right )^{2}}{a+b+c}$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $\left | a-b \right |=min\left \{ \left | a-b \right |;\left | b-c \right |;\left | c-a \right | \right \}$

Từ đây (1) đã được chứng minh. Vậy bài toán hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ và $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c;c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Nguyễn Minh Phương

13 tháng 7 2017 lúc 19:50

C/m biểu thứca)left(frac{asqrt{a}+bsqrt{b}}{sqrt{a}+sqrt{b}}-sqrt{ab}right)left(frac{sqrt{a}+sqrt{b}}{a-b}right)1(a,b0,ane0b)frac{a-b-2sqrt{ab}}{sqrt{a}-sqrt{b}}:frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}a-bleft(a,b0,ane bright)c)left(2+frac{a-sqrt{a}}{sqrt{a}-1}right)left(2-frac{a+sqrt{a}}{sqrt{a}+1}right)4-aleft(a0,ane1right)d)left(frac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}}+sqrt{a}right)left(frac{1+asqrt{a}}{1+sqrt{a}}-sqrt{a}right)left(1-aright)^2left(age0,ane1right)Giải giúp mk với. THứ 3 tuần sau là phải nộp rồi

Đọc tiếp

C/m biểu thức

a)$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)=1$(a,b>0,a$\ne$0

b)$\frac{a-b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=a-b\left(a,b>0,a\ne b\right)$

c)$\left(2+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\left(2-\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)=4-a\left(a>0,a\ne1\right)$

d)$\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)=\left(1-a\right)^2\left(a\ge0,a\ne1\right)$

Giải giúp mk với. THứ 3 tuần sau là phải nộp rồi

Xem chi tiết

Lớp 9 Toán Câu hỏi của OLM

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)