§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đức Huy ABC

Sử dụng kết quả bất đẳng thức Bunyakovsky, chứng minh cosA+cosB+cosC\(\le\dfrac{3}{2}\)(A, B, C là các đỉnh của tam giác ABC).

Lightning Farron
30 tháng 3 2017 lúc 15:17

Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\). Khi đó \(A\ge\dfrac{\pi}{3};C\le\dfrac{\pi}{3}\)

\(\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\)\(\pi\ge A+B=\pi-C\ge\dfrac{2\pi}{3}\) nên

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\ge A+B\ge\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+0=A+B+C=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

Ta có: \(f"\left(x\right)=-\cos x< 0\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) lõm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Khi đó, theo BĐT Karamata ta có:

\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(0\right)\le f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(C\right)\le3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Hay \(\cos A+\cos B+\cos C\le\dfrac{3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
khải hoàng
Xem chi tiết
Tùng Chi Pcy
Xem chi tiết
Thảo Nguyễn
Xem chi tiết
Hồ Thị Hồng Nghi
Xem chi tiết
phạm thị như quỳnh
Xem chi tiết
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Trang
Xem chi tiết
L N T 39
Xem chi tiết
Linh Lê
Xem chi tiết