Question

Số tự nhiên n lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 thỏa mãn 3n + 1 và 7n + 2 nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

Gọi \(ƯCLN\left(3n+1;7n+2\right)=d\)

\(\Rightarrow3n+1⋮d\)\(\Rightarrow7\left(3n+1\right)⋮d\)\(\Rightarrow21n+7⋮d\)(1)

\(7n+2⋮d\)\(\Rightarrow3\left(7n+2\right)⋮d\)\(\Rightarrow2n+6⋮d\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(21n+7\right)-\left(21n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow21n+7-21n-6⋮d\)\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)\(3n+1\)và \(7n+2\)nguyên tố cùng nhau với mọi n

mà \(10< n< 1000\)

Vậy \(10< n< 1000\)

Answer 2

Gọi ƯCLN ( 3n+1;7n+2 ) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\7n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}7\left(3n+1\right)⋮d\\3\left(7n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+7⋮d\\21n+6⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left[\left(21n+7\right)-\left(21n+6\right)\right]⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow...\)

Vậy 3n+1 và 7n+2 nguyên tố cùng nhau

   Hình như đề sai nhỉ ?