Gọi số tự nhiên đó là n với .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tô, ta xét 4 trường hợp sau:
TH1: n chứa một thừa số nguyên tố: có 6 ước số.
TH2: n chứa 2 thừa số nguyên tố :
có 10 ước.
TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố:
có 8 ước số.
TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.
Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp : n chứa một thừa số nguyên tố : xét n = 2x (Vì cơ số càng nhỏ thì mũ số càng lớn => được nhiều ước nhất)
Ta có: 25 = 32 < 60 < 26 = 64
=> x = 5 Vậy x = 32 có 6 ước
+) Trường hợp : n chứa hai thừa số nguyên tố: Xét n = 2x.3y
24.3 = 48 < 60 < 25.3. Số 24.3 có (4 +1).(1+1) = 10 ước
23.3 < 60 < 23.32. Số 23.3 có 8 ước
2.33 < 60 < 22.33 . Số 2.33 có 8 ước
Chọn n = 48 có 10 ước
+) Trường hợp: n chứa 3 thừa số nguyên tố: Xét n = 2x.3y.5z
Ta có:2.3.5 < 60 = 22.3.5
=> n = 2.3.5 có 8 ước
+) Trường hợp n chứa 4 thừa số nguyên tố trở lên : Không xảy ra vì: 2.3.5.7 = 210 > 60
Kết hợp các trường hợp => n = 48 có 10 ước