Question

số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\)

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(x^4\)+\(\left(3-x\right)^4\)+\(6x^2\left(3-x\right)^2\)

Answer 1

Đặt \(x^2+\left(3-x\right)^2=a\ge5\)

Ta có: 

\(x\left(3-x\right)=-\frac{1}{2}\left(2x^2-6x\right)\)

\(=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9+x^2-9\right)\)

\(=-\frac{1}{2}\left(x^2+\left(3-x\right)^2-9\right)=-\frac{1}{2}\left(a-9\right)\)

Áp dụng ta có: 

\(P=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2=\left(x^2+\left(3-x\right)^2\right)^2+4x^2\left(3-x\right)^2\)

\(=a^2+\left(a-9\right)^2\)

\(=2a^2-18a+81=\left(2a^2-20a+50\right)+2a+31\)

\(=2\left(a-5\right)^2+2a+31\ge0+2.5+31=41\)