Dựa vào công thức: \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{1}{k+1}+\frac{a-r}{b\left(k+1\right)}\) với k là thương của b cho a, r là số dư của phép chia của b cho a.
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}\)
lêhằngnga còn nhiều trg hợp
khác
có 12 trg hợp
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow a,b,c\ne0\)
Do a,b,c có vai trò như nhau,giả sử:
\(0< a\le b\le c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{c}\)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{a}\ge\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow a\in\left\{1;2;3\right\}\)
Với a=1 thì không tồn tại b thỏa mãn.(tự c/m,ko chứng minh được thì ib)
Với a=2,ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{b}\ge\frac{3}{10}\)
\(\Rightarrow b\in\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\)
Kiểm tra các trường hợp ta thấy b=5 thì c=10,b=4 thì c=20
Với a=3,ta có:
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{5}-\frac{1}{3}=\frac{7}{15}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{b}\ge\frac{7}{15}\)
\(\Rightarrow b\in\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)
Kiểm tra các giá trị của b thì không tìm được số tự nhiên c.
Vậy bộ số \(\left(a;b;c\right)\)thỏa mãn đề bài là:\(\left(2;5;10\right);\left(2;4;20\right)\)và các hoán vị của chúng.
