Question

Số 2² và 5² viết liền nhau được số 425 có ba chữ số , số 2³ và 5³ viết liền nhau được số 8125 có bốn chữ số , số 2⁴ và 5⁴ viết liền nhau được số 16625 có năm chữ số . Chứng minh rằng số 2¹⁹⁹¹ và 5¹⁹⁹¹ viết liền nhau được số có 1992 chữ số .

Answer 1

                 Giải :

Giả sử 2¹⁹⁹¹ có x chữ số , 5¹⁹⁹¹ có y chữ số .

Cần chứng minh rằng x + y = 1992 .

Số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10^x-1 . Số tự nhiên nhỏ nhất có x + 1 chữ số là 10^x.

Ta có : 10^x-1 < 2¹⁹⁹¹< 10^x 

Tương tự : 10^y-1 < 5¹⁹⁹¹ < 10^y

Do đó : 10^x-1, 10^y-1 < 2¹⁹⁹¹, 5¹⁹⁹¹ < 10^x , 10^y .

=> 10^x+y-2 < 10¹⁹⁹¹ < 10^x+y

x + y - 2 < 1991 < x + y

Do x + y \(\in\)N nên x + y - 1 = 1991 

Do đó x + y = 1992

Vậy 2¹⁹⁹¹ và 5¹⁹⁹¹ viết liền nhau tạo thành số có 1992 chữ số .