\(S=1+3+3^2+3^3+...+3^{2019}\)
\(\Leftrightarrow3S=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2020}\)
\(\Leftrightarrow2S=3^{2020}-1\)
\(\Leftrightarrow2S+1=3^{2020}-1+1\)
\(\Leftrightarrow2S+1=3^{2020}\)
\(\Leftrightarrow2S+1=\left(2^{1010}\right)^2\)
\(\text{Vậy 2S + 1 là số chính phương}\)
\(S=1+3+3^2+...+3^{2019}\)
\(\text{S có 2020 số hạng chia làm 673 nhóm mỗi nhóm 3 số , còn thừa một số }\)
\(\Leftrightarrow S=\left(1+3+3^2\right)+...+\left(3^{2016}+3^{2017}+3^{2018}\right)+3^{2019}\)
\(\Leftrightarrow S=13+...+3^{2016}\left(1+3+3^2\right)+3^{2019}\)
\(\Leftrightarrow S=13+...+3^{2016}.13+3^{2019}\)
\(\Leftrightarrow S=13\left(1+...+3^{2016}\right)+3^{2019}\)
Sau đó tìm số dư khi chia 32019 cho 13 là xong
\(a,S=1+3^1+3^2+...+3^{2019}\)
\(\Rightarrow3S=3+3^2+3^3+....+3^{2020}\)
\(\Rightarrow3S-S=2S=3^{2020}-1\)
\(\Rightarrow2S+1=3^{2020}-1+1=3^{2020}\)
\(\Rightarrow2S+1=\left(3^{1010}\right)^2\)
\(\Rightarrow2S+1\) là số chính phương
Bài làm
a) S=1+31+32+....+32019
3S = 3 + 32 + 33 + ... + 32019 + 32020
Lấy 3S - S ta có
3S - S = (3 + 32 + 33 + ... + 32019 + 32020) - (1+31+32+....+32019)
2S = 32020 - 1
S = (32020 -1) : 2
mà 2S + 1 = 2 .(32020 -1) : 2 + 1
= 32020 - 1 + 1
= 32020
lại có 32020 = 31010.2
= (31010)2
=> 2S + 1 là số chính phương
b) S=1+31+32+....+32019
= (1+31+32) +(33+34+35)+....+(32016+32017+32018 )+32019
= (1+3+32) + 33. (1+3+3)+....+32016.(1+3+32) + 32019
= 13 + 33.13+... + 32016.13 + 32019
= 13 . 30 + 33.13+... + 32016.13 + 32019
= 13 . (30+33+32016) + 32019
= 13 . (30+33+32016) + 32002.317
= 13 . (30+33+32016) + 31989.330
= 13 . (30+33+32016) + 31989.205891132094649
mà 13 . (30+33+32016) \(⋮\)13 và 31989 . 205891132094649 có 205891132094649 \(⋮\)13
=> 31989.205891132094649 \(⋮\)13
=> 31989.330 \(⋮\)13
=> 32019 \(⋮\)13
=> 13 . (30+33+32016) + 32019 \(⋮\)13
=> 1+31+32+....+32019 \(⋮\)13
Vậy S\(⋮\)13
