Dễ hiểu với cách xét bài toán phụ sau:
Với \(a+b+c=0\) và a,b,c khác 0
Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Thật vậy, ta CM như sau:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{0}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
=> BT được chứng minh
Áp dụng vào bài chính, ta được:
\(\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)^2}=1+1-\frac{1}{2}\)
Tương tự:
\(\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
...
\(\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}=1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Cộng vế lại ta được:
\(BT=1+1-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=100-\frac{1}{100}=99,99\)
