Question

Rút gọn biểu thức:            \(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{^{2^2}}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2014}}\)

Answer 1

Bạn nên nhớ các bài dạng dãy số này, sau này sẽ cần dùng rất nhiều:

 Ta có:  \(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2014}}\)

          \(2A=2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2014}}\right)\)

          \(2A=2+1+\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2^{2013}}\)

 \(2A-A=\left(2+1+\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2^{2013}}\right)\)\(-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2014}}\right)\)

             \(A=2+\left(1+\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2^{2013}}\right)\)\(-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2013}}\right)-\frac{1}{2^{2014}}\)

             \(A=2-\frac{1}{2^{2014}}\)

Answer 2

Ta có:\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2014}}\)

\(\Rightarrow2A=2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{2013}}\)

\(\Leftrightarrow2A-A=\left(2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{2013}}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2^{2014}}\right)\)

\(=2-\frac{1}{2^{2014}}=\frac{2^{2015}-1}{2^{2014}}\)

Vậy \(A=\frac{2^{2015}-1}{2^{2014}}\)