Question

Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thắng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

Answer 1

Gọi h 1  và  h 2  là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng l

Tổng khoảng cách là S.

Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra AM = CN

Mà: ∠ (AMP) =  ∠ (DNS) (đồng vị)

∠ (DNS) =  ∠ (CNR) (đôi đỉnh)

Suy ra:  ∠ (AMP) =  ∠ (CNR)

Suy ra: ∆ APM =  ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP =  h 2

AM = CN ⇒ BM = DR

∠ (BMQ) =  ∠ (DNS) (so le trong)

Suy ra:  ∆ BQM =  ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ =  h 1

S B O A = 1 / 4 S A O B = 1 / 4   a 2  (l)

S B O A = S B O M + S A O M  = 1/2 .b/2 . h 1  + 1/2 .b/2 . h 2

Từ (1) và (2) suy ra  h 1  +  h 2  =  a 2 b . Vậy : S = 2( h 1  +  h 2 ) = 2 a 2 b