Vác máy tính lên bấm thử mấy số nhỏ thấy \(1156=34^2,111556=334^2\).
Vậy có lẽ \(\overline{1...15...56}=\overline{3...34}^2\) trong đó có 2011 số 3.
Hiện tại chưa biết cách chứng minh.
Cái bạn chưa biết là cái mình đang cần. Nếu giúp được cảm ơn bạn nhiều!
CM được rồi!!!
Quy nạp như sau:
Giả sử \(M=\overline{3..34}^2=\overline{1...15...56}\) trong đó có a chữ số 3, a+1 chữ số 1 và a chữ số 5.
Ta CM \(N=\overline{3..34}^2=\overline{1...15...56}\) trong đó có a+1 chữ số 3, a+2 chữ số 1 và a+1 chữ số 5.
Nhận xét: \(\overline{3...34}=\frac{10^a-1}{3}+1\) nếu có a chữ số 3.
Thực hiện phép trừ: \(N-M=\left(\frac{10^{a+1}}{3}-1\right)^2-\left(\frac{10^a-1}{3}-1\right)^2=\left(\frac{10^{a+1}-10^a}{3}\right)\left(\frac{10^{a+1}+10^a+4}{3}\right)\)
Hay \(N-M=3.10^a.\frac{\overline{110...04}}{3}=\overline{110...040...0}\) (trong đó có a-1 số 0 ở giữa và a số 0 ở đuôi).
Đem cái này cộng với \(\overline{1...15...56}\) (a+1 chữ số 1, a chữ số 5) được \(\overline{1...15...56}\) (a+2 chữ số 1, a+1 chữ số 5)
Hoàn tất chứng minh.
