Question

\(P=\frac{x^2-6x+14}{x^2-6x+12}\) tìmGTLN

Answer 1

\(P=\frac{x^2-6x+14}{x^2-6x+12}=\frac{x^2-6x+12+2}{x^2-6x+12}=\frac{x^2-6x+12}{x^2-6x+12}+\frac{2}{x^2-6x+12}=1+\frac{2}{x^2-6x+12}\)

\(=1+\frac{2}{\left(x^2-6x+9\right)+3}=1+\frac{2}{\left(x^2-2.x.3+3^2\right)+3}=1+\frac{2}{\left(x-3\right)^2+3}\)

P lớn nhất \(\Leftrightarrow\) \(\frac{2}{\left(x-3\right)^2+3}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+3\) nhỏ nhất

Ta có: \(\) \(\left(x-3\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-3\right)^2+3\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(x-3\right)^2+3}\le\frac{2}{3}\)

Do đó GTLN của \(\frac{2}{\left(x-3\right)^2+3}\) là 2/3

=> GTLN của \(P=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=3