(Nghi binh 25/09)
Dạo này bận nhiều nên cho tàm tạm:
Câu 1:
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: \(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\)
Câu 2: Cho ba số a,b,c đôi một khác nhau, c khác 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình \(x^2+ax+bc=0\)
và \(x^2+bx+ca=0\)có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phương trình: \(x^2+cx+ab=0\).
Câu 1:
Đặt phương trình là (1)
ĐK: \(3x-16y-24\ge0\)
\(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\Leftrightarrow\left(3x-16y-24\right)^2=9x^2+16x+32\)
\(\Leftrightarrow9\left(3x-16y-24\right)^2=9\left(9x^2+16x+32\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=81x^2+144x+288\)
Với x, y nguyên thì (3y+5) là ước của (-7) và chia cho 3 dư 2
=> (3y+5)=-1 hoặc (3y+5)=-7
+ TH1: \(\left(3y+5\right)=-1\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=-1\)
+ TH2: \(\left(3y+5\right)=-7\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-7\)
Vậy các cặp nghiệm nguyên của (x;y) là: (-1;-2); (-7;-4)
\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=\left(9x+8\right)^2+224\)
\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2-\left(9x+8\right)^2=224\)
\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72+9x-8\right)\left(9x-48y-72-9x-8\right)=224\)
\(\Leftrightarrow\left(18x-48y-64\right)\left(-48y-80\right)=224\)
\(\Leftrightarrow-32\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=224\)
\(\Leftrightarrow\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=-7\)
giả sử a là nghiệm chung của 2 phương trình
\(x^2+\text{ax}+bc=0\left(1\right)\) và \(x^2+bx+ca=0\left(2\right)\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a\alpha+bc=0\\a^2+b\alpha+ca=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\alpha\left(a-b\right)+c\left(b-a\right)=0\Rightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\Rightarrow\alpha=c\ne0\)
Thay \(\alpha=c\)vào (1) ta có: \(c^2+ac+bc=0\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\)
Mặt khác, theo định lý Viet phương trình(1) còn có nghiệm nữa là b, phương trình(2) còn có nghiệm nữa là a. Theo định lý Viet đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\Leftrightarrow x^2+cx+ab=0\left(\text{đ}pcm\right)\)
