(Nghệ An - 2019)
Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $MN$ vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $C$ khác điểm $M$. Kẻ $MH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$).
a. Chứng minh $BOMH$ là tứ giác nội tiếp.
b. $MB$ cắt $OH$ tại $E$. Chứng minh $ME.MH = BE.HC$.
c. Gọi giao điểm của đường tròn $(O)$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHC$ là $K$. Chứng minh 3 điểm $C$, $K$, $E$ thẳng hàng.
Ta có MOB = MHB = 90 độ
Suy ra MOB + MHB = 180 độ nên BOMH là tứ giác nội tiếp
a.
Ta có (do và ).
nên là tứ giác nội tiếp.
b.
vuông cân tại nên (1)
Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).
và (cùng chắn cung ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
là tia phân giác của (3)
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại , đường cao :
(4)
Từ (3) và (4) suy ra (5) .
c.
Vì nên đường tròn ngoại tiếp có đường kính .
.
là đường kính của đường tròn nên .
nên 3 điểm , , thẳng hàng. (*)
(g.g) .
Mà (do cân tại ) cùng với (5) ta có .
Mà (c.g.c)
mà (do , , thẳng hàng).
thẳng hàng (**).
Từ (*) và (**) suy ra 3 điểm , , thẳng hàng.
