Xét vế 1 ta có: \(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\) \(=\frac{yz+yx}{xz}+\frac{z+x}{y}\)
\(=\frac{y^2z+y^2x+x^2z+xz^2}{xyz}\)nhóm hạng tử 1 với 4,2 với 3 trên tử ta được:
\(=\frac{z\left(y^2+xz\right)+x\left(y^2+xz\right)}{xyz}\)\(=\frac{\left(z+x\right)\left(y^2+xz\right)}{xyz}=\frac{z+x}{zx}\times\frac{y^2+xz}{y}\)(1);
Xét vế 2 ta có: \(=1+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+1=2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)nhân 2 đa thức với nhau:
\(=\frac{2xz}{xz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)\(=\frac{x^2+2xz+z^2}{xz}\)\(=\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}=\frac{z+x}{xz}\times\frac{z+x}{1}\)(2)
Từ (1) và (2),ta có: vế 1 = vế 1; mà\(\frac{y^2+xz}{y}< y+\frac{xz}{y}< x+z\)
Suy ra điều phải chứng minh...