Question

Nếu b=a-1 thì (a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)...(a^32+b^32)=a^64-b^64

Answer 1

Cần chứng minh với b=a-1 thì (a+b)(a^2+b^2)...(a^(2^p)+b^(2^p) = a^(2^(p+1)) - b^(2^(p+1))    (1)

Với p=0 thì a+b = a^2-b^2

hay 2a-1 = a^2 - (a-1)^2

hay 2a-1 = a^2 - (a^2 - 2a - 1)

hay 2a-1 = 2a -1

Điều này đúng nên (1) đúng với p = 0

Dùng quy nạp, giả thiết (1) đúng với p, chứng minh đúng với p+1.

Hay cần chứng minh (a^(2^(p+1)) - b^(2^(p+1))).(a^(2^(p+1)) + b^(2^(p+1))) = a^(2^(p+2)) - b^(2^(p+2))    (2)

Đặt a^(2^(p+1)) = A, b^(2^(p+1)) = B thì

(2) tương đương với (A - B).(A + B) = A^2 - B^2

hay A^2 - B^2 = A^2 - B^2 (đúng)

Vậy (2) đúng.

Theo quy nạp ta có điều phải chứng minh.