Question

Một lần Phú Ông thưởng cho Bờm một mảnh đất để trồng lúa. Phú Ông đưa cho Bờm một sợi dây dài và nói rằng: Ngươi dùng sợi dây này để khoang kín lấy mảnh đất hình chữ nhật hoặc hình tròn, phần đất nằm bên trong sợi dây là của ngươi.

Bờm phân vân không biết nên khoanh thành hình chữ nhật, hình vuông hay hình tròn. Các bạn hãy giúp Bờm nhé.

 

 

Answer 1

Vì mảnh đất Bờm trồng lúa nên Bờm phải khoanh sao cho diện tích là lớn nhất. Ta phải tìm xem các hình chữ nhật, hình vuông và hình tròn có cùng chu vi (chu vi là độ dài sợi dây), hình nào có diện tích lớn nhất?

*) So sánh diện tích hình chữ nhật và hinh vuông có cùng chu vi: Giả sử hình chữ nhật ABCD có chu vi là chiều dài sợi dây. Nếu ta tăng chiều rộng và giảm chiều dài đi cùng đoạn d bằng nửa hiệu hai cạnh thì ta được hình vuông AEFG có cùng chu vi với hình chữ nhật (xem hình vẽ).

dd(1)(2)(3)(4)ABCDEFGH

Ta có: Diện tích hình chữ nhật bằng (1) + (2)

          Diện tích hình vuông bằng (1) + (3)

Mà diện tích của (2) + (4) bằng diện tích (3) vì cùng là hình chữ nhật có một cạnh d còn cạnh kia bằng cạnh hình vuông.

Suy ra Diện tích hình vuông AEFG hơn diện tích hình chữ nhật ABCD một phần bằng diện tích (4).

Vậy trong hai hình: hình chữ nhật và hình vuông có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn hơn.

*) Bây giờ ta so sánh tiếp xem trong hai hình: hình vuông và hình tròn có cùng chu vi (là độ dài sợi dây), hình nào có diện tích lớn hơn. Gọi chiều dài sợi dây là a.

Nếu khoanh sợi dây thành hình vuông ta được hình vuông có cạnh là , diện tích hình vuông là 

Nếu khoanh sợ dây thành hình tròn, ta được hình tròn có bán kính là , diện tích hình tròn là: .

Vì  nên diện tích hình tròn lớn hơn diện tích hình vuông có cùng chu vi.

Kết luận: Trong các hình: hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất. Vậy Bờm nên khoang sợi dây thành hình tròn thì được phần đất có diện tích lớn nhất.

Answer 2

Gọi cạnh hình vuông là a, thì diện tích hình vuông là: (a x a)

 Vì chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật. Nên để hình vuông thành hình chữ nhật thì phải bớt 1 độ dài bằng n ở cạnh này để thêm vào cạnh kia. Khi đó diện tích hình chữ nhật là: (a + n) x (a – n) = a x a + n x a – n x a  - n x n = a x a – n x n

Rõ ràng (a x a) luôn lớn hơn hoặc bằng (a x a – n x n). Nó chỉ bằng nhau khi n = 0

Vì vậy hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi thì diện tích hình vuông sẻ lớn hơn.

*Gọi chu vi của hình đó là P

Cạnh hình vuông có chu vi bằng P là: (P : 4)

Diện tích hình vuông có chu vi bằng P là : (P : 4) x (P : 4) = {(P X P) : (4 x 4)}

Bán kính hình tròn có chu vi bằng P là : P : 2 : 3,14

Diện tích hình tròn có chu vi bằng P là : (P : 2 : 3,14) x (P : 2 : 3,14)= {(P X P) : (4 x 3,14)}

Nhận thấy: {(P X P) : (4 x 4)} > {(P X P) : (4 x 3,14)}. Vậy hình tròn và hình vuông có chu vi bằng P thì diện tích hình tròn sẻ lớn hơn.

*Kết luận: Trong các hình có chu vi bằng nhau thì hình tròn có diện tích lớn nhất, hình chữ nhật có diện tích bé nhất.