a) ĐK: \(x^2\leq 5\)
Ta có: \(\sqrt{5-x^2}=x-1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0\\ (\sqrt{5-x^2})^2=(x-1)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ 5-x^2=x^2-2x+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ 2x^2-2x-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x^2-x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ (x-2)(x+1)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=2\)
b)
ĐK: \(x\geq \frac{5}{2}\)
Nhân cả 2 vế của pt với $\sqrt{2}$ thu được:
\(\sqrt{2x+2\sqrt{2x-5}-4}+\sqrt{2x-6\sqrt{2x-5}+4}=4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-5)+2\sqrt{2x-5}+1}+\sqrt{(2x-5)-6\sqrt{2x-5}+9}=4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+1+|\sqrt{2x-5}-3|=4\)
\(\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=3-\sqrt{2x-5}(*)\)
Nếu \(x\geq 7\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=\sqrt{2x-5}-3\)
$(*)$ trở thành: \(\sqrt{2x-5}-3=3-\sqrt{2x-5}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2x-5}=3\Rightarrow x=7\) (thỏa mãn)
Nếu \(\frac{5}{2}\leq x< 7\Rightarrow |\sqrt{2x-5}-3|=3-\sqrt{2x-5}\)
$(*)$ trở thành:
\(3-\sqrt{2x-5}=3-\sqrt{2x-5}\) (luôn đúng)
Vậy pt có nghiệm $x=7$ hoặc $\frac{5}{2}\leq x< 7$
Hay PT có nghiệm thuộc \([\frac{5}{2}; 7]\)
c)
ĐK: \(x,y\geq 1\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm
\(\sqrt{y-1}=\sqrt{1(y-1)}\leq \frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}\leq \frac{xy}{2}\)
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1(x-1)}\leq \frac{1+(x-1)}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow 2y\sqrt{x-1}\leq xy\)
Do đó:
\(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} y-1=1\\ x-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy pt có nghiệm $x=y=2$
