Question

giải các phương trình sau:

a. \(\sqrt{x-2}=x-4\)

b.\(\sqrt{x-4}=4-x\)

c.\(\sqrt{x^2-2x+2}=x-1\)

d.\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}=3\)

đ.\(2\sqrt{2x+3}=x^2+4x+5\)

e.\(\sqrt{x^2-2x+5}=x^2-2x-1\)

f.\(\sqrt{x+3}=3-\sqrt{x}\)

g.\(\sqrt{4x^2+9x+5}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{2x^2+x-1}\)

h.\(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

Answer 1

a) Do VT >=0 nên VP >=0 nên \(x\ge4\)

\(PT\Leftrightarrow\left(x-2\right)-\sqrt{x-2}-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=t\ge\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\) thì \(t^2-t-2=0\)

\(\Leftrightarrow t=2\left(loại t = -1 vì nó không thỏa mãn đk\right)\Leftrightarrow x-2=4\Leftrightarrow x=6\)

Answer 2

b) (sai thì thôi nha) Dễ thấy x = 4 là một nghiệm

Xét x khác 4:ĐK: \(x>4\)(1) . Mặt khác do VT > 0 nên VP > 0 suy ra x < 4(2)

Do x không thể đồng thời thỏa mãn (1) và (2) nên vô nghiệm.

Vậy x = 4

Answer 3

c)Ta thấy: \(VT=\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+1}\ge1\)

Do vậy \(VP=x-1\ge1\Rightarrow x\ge2\)

PT \(\Leftrightarrow x^2-2x+2=x^2-2x+1\Leftrightarrow2=1\) (vô lí, loại)

PT vô nghiệm

Answer 4

d) (ta sẽ dùng bđt rồi xét dấu bằng xảy ra và tìm được nghiệm)

PT \(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x+4\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left|1-x\right|+\left|x+4\right|=3\). Áp dụng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối vào VT:

\(VT\ge\left|1-x+x+4\right|=5>3\)

PT vô nghiệm.

Answer 5

f) ĐK \(x\ge0\)

Bình phương hai vế: \(x+3=x-6\sqrt{x}+9\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}=6\Rightarrow x=1\)

Answer 6

đ)(sai thì thôi ạ) Dễ thấy VP >0 nên VT >0 do đó x > -3/2

Thêm \(2x+4\) vào hai vế pt trở thành:

\(x^2+6x+9=\left(2x+3+2\sqrt{2x+3}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=\left(\sqrt{2x+3}+1\right)^2\)

Do x > -3/2 nên biểu thức trong ngoặc ở cả hai vế đều dương. Do đó

\(x+3=\sqrt{2x+3}+1\Leftrightarrow\left(x+2\right)=\sqrt{2x+3}\)

Do x > -3/2 nên hai vế đều dương, bình phương hai vế, pt trở thành

\(x^2+4x+4=2x+3\Leftrightarrow x^2+2x+1=0\Leftrightarrow x=-1\) (TM)

Vậy

Answer 7

e) Do \(VT=\sqrt{x^2-2x+1+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge2\)

Nên \(VT=x^2-2x-1\ge2\Rightarrow x^2-2x-3\ge0\Leftrightarrow x\le-1\text{hoặc }x\ge3\)

PT \(\Leftrightarrow x^2-2x-4=\sqrt{x^2-2x+5}-3\). Nhân liên hợp ta được:

\(PT\Leftrightarrow x^2-2x-4-\frac{x^2-2x-4}{\sqrt{x^2-2x+5}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-4=0\left(1\right)\\1-\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+5}+3}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) được \(\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{5}\left(TM\right)\\x=1-\sqrt{5}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\). (2) \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+5}=-2\left(\text{vô lí}\right)\) nên hai vô nghiệm

Vậy..