Question

Mn giúp mình bài này với.

Chứng minh rằng: Px =7^× + 3^× -1chia hết cho 9 ¥×€N

Answer 1

P(x) = 7^x + 3^x - 1 \(⋮9\)

Với x = 3k + 1 (k \(\inℕ^∗\))

= 7^{3k + 1} + 3^{3k + 1} - 1

= 343^k.3 + 27^k.3 - 1 

= (343^k.3 - 3) + 27^k.3 + 2

= 3(343^k - 1) + 27^k.3 + 2 

= 3(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

= 3.342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

=> P(x) : 9 dư 2

Với x = 3k + 2  

P(x) = 7^{3k + 2} + 3^{3k + 2} - 1

= 343^k.49 + 27^k.9 - 1 

= (343^k.49 - 49) + 27^k.9 + 48

= 49(343^k - 1) + 27^k.9 + 48

= 49(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.9 + 45 + 3

=> P(x) : 9 dư 3

Với x = 3k 

Khi đó P(x) = 7^3k + 3^3k - 1

= (343^k - 1) + 27^k

= (343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k

= 342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k \(⋮9\)

Vậy P(x) \(⋮\Leftrightarrow x⋮3\)