Question

Mình nhờ các bạn giải cho mình cái câu 11c và câu 12

Answer 1

11c.

\(\left\{{}\begin{matrix}S_1^2=AD^2\\S_2^2=BD^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sqrt{S_1S_2}=AD.BD\) nên ta cần chứng minh: \(CD^2\le AD.BD\)

Kẻ \(DE\perp BC\Rightarrow\Delta CDE\) vuông cân tại E \(\Rightarrow CD^2=2DE^2\)

Mặt khác theo talet: \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow DE=\dfrac{AC}{AB}.BD\Rightarrow2DE^2=2\dfrac{AC^2}{AB^2}.BD^2\)

Nên ta cần chứng minh: \(\dfrac{2AC^2}{AB^2}.BD^2\le AD.BD\Leftrightarrow\dfrac{2AC^2}{AB^2}\le\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\)

\(\Leftrightarrow2AC.BC\le AB^2\)

Điều này đúng do: \(2AC.BC\le AC^2+BC^2=AB^2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi D là trung điểm AB hay tam giác vuông cân tại C

Answer 2

Answer 3

12.

Ta có:

\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{zx}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+z+x\)

\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)

Mặt khác:

\(P=\dfrac{5yz}{x}+\dfrac{7zx}{y}+\dfrac{8xy}{z}=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zx}{y}\right)+3\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\right)+2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)

\(P\ge5.2\sqrt{\dfrac{x^2yz}{yz}}+3.2\sqrt{\dfrac{xy^2z}{xz}}+2.2\sqrt{\dfrac{xyz^2}{xy}}=2\left(5x+3y+2z\right)\ge2.4=8\)

\(P_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)