MÌNH ĐANG CẦN GẤP
Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. a) Cho AC= 16cm, BD=6cm, DC=8cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh AC.EA=AB.EC c) Gọi I là trung điểm của AB, AD cắt EI tại P, BE cắt ID tại Q. Chứng minh rằng \(\dfrac{PE}{PI}=\dfrac{QD}{QI}\)
a. -Xét △ABC: AD là đường phân giác (gt)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\) (định lí về đường phân giác trong tam giác)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{16}=\dfrac{6}{8}\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{6}{8}.16=12\left(cm\right)\)
b) -Xét △ABC: DE//AB (gt)
\(\Rightarrow\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BD}{CD}\) (định lí Ta-let)
Mà \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AB}{AC}\) nên \(AC.EA=AB.EC\)
c) -Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{ADE}\) (AB//DE và so le trong)
\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{ADE}\) nên △ADE cân tại E.
\(\Rightarrow AE=DE\)
-Xét △AIE: AP là đường phân giác.
\(\Rightarrow\dfrac{PE}{PI}=\dfrac{AE}{AI}\)(định lí về đường phân giác trong tam giác)
Mà \(AE=DE\left(cmt\right)\); \(AI=BI\) (I là trung điểm AB)
\(\Rightarrow\dfrac{PE}{PI}=\dfrac{DE}{BI}\)
-Xét △QDE: DE//BI.
\(\Rightarrow\dfrac{QD}{QI}=\dfrac{DE}{BI}\) (hệ quả định lí Ta-let)
Mà \(\dfrac{PE}{PI}=\dfrac{DE}{BI}\) nên \(\dfrac{PE}{PI}=\dfrac{QD}{QI}\)
