a: Gọi AG là đường kính của (O)
=>O là trung điểm của AG
Xét (O) có
ΔABG nội tiếp
AG là đường kính
Do đó: ΔABG vuông tại B
=>BG⊥BA
mà CH⊥BA
nên CH//BG
Xét (O) có
ΔACG nội tiếp
AG là đường kính
Do đó: ΔACG vuông tại C
=>CA⊥CG
mà BH⊥AC
nên BH//CG
Xét tứ giác BHCG có
BH//CG
BG//CH
Do đó: BHCG là hình bình hành
=>HG cắt BC tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HG
Xét ΔGAH có
M,O lần lượt là trung điểm của GH,GA
=>MO là đường trung bình của ΔGAH
=>MO//AH và \(MO=\frac{AH}{2}\)
b:
Gọi I là trung điểm của AH
=>I là tâm đường tròn đường kính AH
Xét (I) có
ΔATH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔATH vuông tại T
=>TA⊥TH
Xét (O) có
ΔATG nội tiếp
AG là đường kính
Do đó: ΔATG vuông tại T
=>TA⊥TG
mà TA⊥TH
và TG,TH có điểm chung là T
nên T,G,H thẳng hàng
mà H,M,G thẳng hàng
nên T,G,H,M thẳng hàng
=>M,H,T thẳng hàng
