lili GOD này bảo mik đăng cho bạn ấy thử bài bất nên mik cũng ko bt làm gì ạ:(
Cho \(a,b,c>0\) Tìm
\(P_{min}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mời GOD
Nhưng trước hết làm cho nó đẹp lại cái đã:v Bài toán gì đâu mà cho toàn phân thức xấu xí, lần sau bảo người ra đề chọn hệ số đẹp hơn nha zZz Cool Kid zZz :DD
\(P=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{30\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\left(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{4abc}-\frac{3}{4}\right)+\frac{3}{4}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4abc}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{\frac{4}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{ab+bc+ca}{15\left(a^2+b^2+c^2\right)}-\frac{131\left(a^2+b^2+c^2\right)}{60\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{1\left(a^2+b^2+c^2\right)}{15\left(ab+bc+ca\right)}-\frac{131\left(ab+bc+ca\right)}{60\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\Rightarrow x\ge1\). Ta cần tìm min:
\(P=f\left(x\right)=\frac{47}{60}+\frac{1}{15}x-\frac{131}{60x}\)
\(=\frac{47}{60}+\frac{1}{15}x+\frac{1}{15x}-\frac{9}{4x}\)
\(\ge\frac{47}{60}+\frac{2}{15}-\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Tính dùng sos nhưng nghĩ lại ko nên lạm dụng nên dùng cách khác:))
Nhầm: Ta cần tìm min: \(P\ge f\left(x\right)=..\)
Em kiểm tra lại dấu bằng thứ 3 ( 4abc = (a+b+c) (ab+bc+ac) /9 )
Sai từ dấu bằng thứ thứ 4 xuống dấu bằng thứ 5.
Ý tưởng vậy là ok. Tuy nhiên bài trình bày nhầm lẫn nhiều chỗ. Em kiểm tra lại.
Dấu bằng thứ 3 là \(\ge\)
Còn dòng thứ 4, 5 em thấy đúng mà?
Từ dấu bằng thứ 4
= \(\frac{47}{60}+\frac{1}{15}.\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}-\frac{131}{60}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{9}{4}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-\frac{9}{4}\)
= \(\frac{1}{15}.\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{15}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-\frac{22}{15}\)
\(\ge\frac{1}{15}.2-\frac{22}{15}=-\frac{4}{3}\)
