Question

Let a,b be the roots of equation \(x^2-px+q=0\) and let c,d be the roots of the equation \(x^2-rx+s=0\), where p,q,r,s are some positive real numbers. Suppose that : 

                \(M=\frac{2\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{p^2+q^2+r^2+s^2}\)

 is an integer. Determine a,b,c,d .

Answer 1

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}ab=q\\a+b=p\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}cd=s\\c+d=r\end{cases}}\)

\(M=\frac{2\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{p^2+q^2+r^2+s^2}=\frac{2\left(qc+sb+sa+qd\right)}{p^2+q^2+r^2+s^2}\)

\(=\frac{2\left(qr+sp\right)}{p^2+q^2+r^2+s^2}\le\frac{2\left(qr+sp\right)}{2\left(qr+sp\right)}=1\)

Với M = 1 thì \(\hept{\begin{cases}q=r\\p=s\end{cases}}\)

Tới đây thì không biết đi sao nữa :D

Answer 2

thôi bỏ bài này đi cũng được vì chưa tới lúc cần dung phương trình