\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)...\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot...\cdot\frac{2016}{2015}\)
\(=\frac{2016}{2}\)
\(=1008\)
Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó.
$$ \ begin {array} {ccc}
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\
\ end {array} $$
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C '
\ end {align *}
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được
\ begin {equation}
\ label {eq: cosred}
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C
\ end {equation}
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây.
\ begin {align}
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1
\ end {align}
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\
\ frac {2} {3} \ sin x + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\
& = \ ln | u | + C \\
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .
Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước.
\ begin {align *}
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó.
$$ \ begin {array} {ccc}
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\
\ end {array} $$
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C '
\ end {align *}
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được
\ begin {equation}
\ label {eq: cosred}
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C
\ end {equation}
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây.
\ begin {align}
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1
\ end {align}
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\
\ frac {2} {3} \ sin x + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\
& = \ ln | u | + C \\
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .
Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước.
\ begin {align *}
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)....\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)
\(=\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}....\frac{2016}{2015}=\frac{3.4.5.6...2016}{2.3.4.5...2015}=\frac{2016}{2}=1008\)