Question

( / là phân số, ^ là mũ )

Cho A= 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ....+ 1/2015^2

Chứng minh A < 3/4

Answer 1

bn kiếm trên mạng đi nó có đấy

Answer 2

Ta có:

1/2^2 < 1/1.2

1/3^2 < 1/2.3

...

1/2015^2 < 1/2014.2015

Suy ra: 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+1/2015^2 < 1/1.2 +1/2.3+...+1/2014.2015

1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+1/2015^2 < 1-1/2+1/2-1/3+...+1/2014-1/2015

1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+1/2015^2 < 1-1/2015

1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+1/2015^2 < 2014/2015

Mình nghĩ đây là cách làm, bạn thử dựa vào làm xem nhé!

Answer 3

Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2015^2}=\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2015^2}\right)\)

Nhận xét: \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

......

\(\frac{1}{2015^2}< \frac{1}{2014.2015}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2014.2015}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2015}< \frac{3}{4}\)

Vậy A < 3/4

Answer 4

\(A=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2015^2}\right)\)
\(A< \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2014.2015}\right)\)
   \(=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\)
   \(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2015}< \frac{3}{4}\)

Answer 5

Để chứng minh A < 3/4, ta cần sử dụng một số kiến thức về chuỗi số học. Ta biết rằng chuỗi harmonic có dạng sau: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n. Chuỗi này không hội tụ và có giới hạn là vô cùng khi n tiến tới vô cùng. Trong trường hợp của chúng ta, chuỗi harmonic được sử dụng để tính tổng các số bình phương nghịch đảo. Ta có: A = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + …+ 1/2015^2 Để chứng minh A < 3/4, ta sẽ so sánh A với tổng các số bình phương nghịch đảo từ 1/2^2 đến 1/4^2. Ta có: 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 < 1/2^2 + 1/2^2 + 1/2^2 = 3/4 Vì vậy, ta có A < 3/4.