Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ tức là 1 giờ mà hai kim vẫn chưa gặp nhau, lúc này là 1 giờ đúng.
Lúc 1 giờ kim phút chỉ vào số 12, kim giờ chỉ vào số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 1/12 vòng đồng hồ.
Hiệu vận tốc của hai kim là:
1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
1/12 : 11/12 = 1/11 (giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập nhau là:
1 + 1/11 = 12/11 (giờ)
Đáp số : 12/11 giờ
Trong ba kim đồng hồ, kim giờ chạy chậm nhất. Ta tính xem sau chu kỳ bao lâu thì kim phút và kim giây gặp lại kim giờ.
Ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được 1/12 vòng
Trong 1 giờ, kim phút chạy được 1 vòng
Mỗi giờ kim phút chạy nhanh hơn kim giờ là:
1 - 1/12 = 11/12 (vòng)
Để kim phút gặp lại kim giờ thì kim phút phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim phút gặp lại kim giờ là:
1 : 11/12 = 12/11 (giờ)
Tương tự, ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được 1/12 vòng
Trong 1 giờ, kim giây chạy được 60 vòng
Mỗi giờ kim giây chạy nhanh hơn kim giờ là:
60 - 1/12 = 719/12 (vòng)
Để kim giây gặp lại kim giờ thì kim giây phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim giây gặp lại kim giờ là:
1 : 719/12 = 12/719 (giờ)
Như vây:
- Sau các khoảng thời gian: 12/719 giờ, 2 x 12/719 giờ, 3 x 12/719 giờ, ..., k x 12/719 giờ, ... thì kim giây gặp lại kim giờ. (k là số tự nhiên).
- Sau các khoảng thời gian: 12/11 giờ, 2 x 12/11 giờ, 3 x 12/11 giờ, ..., m x 12/11 giờ, ... thì kim phút gặp lại kim giờ. (m là số tự nhiên)
Để ba kim trùng nhau thì kim giây và kim phút cùng gặp lại kim giờ. Tức là:
k x 12/719 = m x 12/11
k x 11 = m x 719
Các số tự nhiên k và m nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là: k = 719 và m = 11.
Tức là sau ít nhất: k x 12/719 = 719 x 12/719 = 12 giờ thì ba kim lại trùng nhau.
Đáp số: 12 giờ.
