gọi abc là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn ( 0 < abc < 999 ) thì phân số phải tìm là : \(\frac{\overline{abc}}{999}\)
\(\frac{\overline{abc}}{999}=\frac{\overline{abc}}{3^3.37}=\frac{\overline{abc}.37^2}{3^3.37^3}=\frac{\overline{abc}}{\left(3.37\right)^3}\)
ta đặt \(\frac{\overline{abc}}{\left(3.37\right)^3}=\frac{x^3.37^3}{\left(3.37\right)^3}\)với x \(\in\)N*
\(\Rightarrow\)abc . 372 = x3 . 373
\(\Rightarrow\)abc = 37x3 < 999
\(\Rightarrow\)x3 \(\in\){ 1 ; 8 }
\(\Rightarrow\)x \(\in\){ 1 '; 2 }
\(\Rightarrow\)abc \(\in\){ 037 ; 296 }
vậy phân số cần tìm là : \(\frac{037}{999}=\frac{1}{27};\frac{296}{999}=\frac{8}{27}\)