Question

ho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thoả mãn:

a+b+c=2

CMR:  a² + b²+ c²+ 2abc < 2 

Answer 1

Điều phải cm tương đương với

\(\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+2abc< 2\)

\(4-2\left(ab+bc+ca\right)+2abc-2< 0\)

\(2-ab-bc-ca+abc-1< 0\)

Ta có: a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên thỏa mãn bđt:\(\hept{\begin{cases}c< a+b\\b< c+a\\a< c+b\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}2c< a+b+c\\2b< a+b+c\\2a< a+b+c\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}c< 1\\b< 1\\a< 1\end{cases}}\)

=>\(\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(a-1\right)< 0\)

<=> \(abc-ab-bc-ca+a+b+c-1< 0\)

<=> \(abc-ab-bc-ca+2-1< 0\)(do a+b+c=2)

đpcm