Question

Hi các bạn 

Cho dãy các phân số 1/1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; ... ; 1/2012 ; 1/2013

Người ta biến đổi dãy số bằng cách xóa đi hai số a, b bất kì và thay bằng số mới a + b + ab . Sau một lần biến đổi như vậy, số các số hạng của dãy giảm đi một đơn vị so với dãy trước đó . Hỏi số hạng cuối cùng còn lại sau 2012 lần biến đổi bằng bao nhiêu ?

Thân ái !

Answer 1

Trong quá trính biến đổi giả sử trên bảng có các số a₁;a₂;...a_n ta tính đặc số P của bộ này là P=(a₁+1)(a₂+1)...(a_n+1)

Ta chứng minh đặc số P không đổi trong quá trình thực hiện phép biến đổi như trên

Thật vậy, giả sử xóa đi 2 số a,b, Khi đó trong tích P mất đi thừa số (a+1)(b+1)

Nhưng đó là ta thay a,b bằng a+b+ab nên trong tích P lại được thêm thừa số a+b+ab+1=(a+1)(b+1)

Vậy P không đổi

Như vậy P ở trạng thái ban đầu bằng P ở trạng thái cuối cùng

Ở bộ số đầu ta có:

\(P=\left(1+1\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)\left(\frac{1}{3}+1\right)...\left(\frac{1}{2013}+1\right)=2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}....\frac{2014}{203}=2014\)

Giả sử số số cuối cùng còn lại là x thì ở số này ta có: P=x+1

Từ số suy ra x=2013