Gọi giao điểm của DF và BC là M,giao điểm của CF và AB là K.
Tam giác BKC có BF vừa là đường cao,vừa là phân giác nên nó là tam giác cân.
\(BK=BC;FK=FC\)
Do DA=DC nên DF là đường trung bình của tam giác CAK.
\(\Rightarrow DF//AK\Rightarrow DM//AB\)
Xét tam giác CAB có \(DM//AB\) mà D là trung điểm của AC nên M là trung điểm của BC.
Áp dụng định lý Thales vào tam giác BGK ta có:
\(\frac{BG}{GD}=\frac{BK}{DF}=\frac{2BK}{AK}\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(\frac{CE}{DE}=\frac{DC-DE}{DE}=\frac{DC}{DE}-1=\frac{AD}{DE}-1=\frac{AE-DE}{DE}-1=\frac{AE}{DE}-2=\frac{AB}{DF}-2\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{DE}=\frac{AK+BK}{DE}-2=\frac{2\left(AK+BK\right)}{AK}-2=\frac{2BK}{AK}\left(2\right)\)
Từ (1);(2) suy ra \(\frac{BG}{DG}=\frac{CE}{DE}\Rightarrow EG//BC\)
Gọi giao điểm của EG và DF là O,áp dụng định lý Thales cho 2 tam giác FMC và FMB ta có:
\(\frac{OG}{MC}=\frac{OF}{FM}\left(3\right)\)
\(\frac{OE}{MB}=\frac{OF}{FM}\left(4\right)\)
Từ (3);(4) suy ra \(\frac{OE}{MB}=\frac{OG}{MC}\) mà MB=MC nên \(OE=OG\RightarrowĐPCM\)
