Question

Help me, will you?

1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức   \(P=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2. Cho đa thức  \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)   \(\left(a,b,c\in R\right).\)   Biết   \(P\left(x\right)>0\)   với mọi x thuộc R.

Chứng minh rằng   \(\frac{5a+b+3c}{a-b+c}>1\)

3. Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để   \(A=n^4+4n^{p+1}\)   là một số chính phương.

Answer 1

2, 5a+b+3c/a-b+c>1 <=> a-b+c+4a+2b+2c/a-b+c>1 

<=>4a+2b+2c/a-b+c > 0 (1) 

xét P(2)=4a+2b+c>0,P(-1)=a-b+c>0 (do P(x)>0 với mọi x)

=>P(2)/P(-1)>0 => (1) đúng =>đpcm

3, hóng cao nhân 

-đề chuyên LQĐ

Answer 2

1,Bổ đề : (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) >= 3(a^2b+b^2c+c^2a) (nhân bung rồi Cauchy từng cặp 2 số) 

từ đó  P <= (a+b+c)/3-(a+b+c)^2/9=x/3-x^2/9 (với x=a+b+c>0)=x/3-(x/3)^2=t-t^2(với t=a+b+c>0)=t(1-t)<=(t+1-t)^2/4=1/4

maxP=1/4,đạt tại a=b=c=1/2