Question

Hãy tìm \(k\) nguyên lớn nhất có thể, biết với mọi số nguyên dương \(n\), số \(n^{23}-n\) luôn chia hết cho \(k\).

Gợi ý: Định lí Fermat nhỏ cho ta \(n^{23}-n\) chia hết cho \(23\) với mọi \(n\) nhé.

Gợi ý 2: Để \(n^{23}-n\) chia hết cho \(k\) với mọi \(n\) thì tối thiểu phải có \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\) đã.

Answer 1

Tạm cho k=3

Answer 2

tớ thì nghĩ k=6

Answer 3

có lẽ không đơn giản => k rất lớn

 giải

\(A=n\left(n^{22}-1\right)=n\left(n^{11}-1\right)\left(n^{11}+1\right)\) 

(*)Hiển nhiên A chia hết cho 2

(**) n^11 không có dang 3k+2=> ^{A chia hết cho 3}

Vậy k <=6.23 

Answer 4

Khó vậy!

Mình mới lớp 7 Mình không biết định lý Fermat 

Xin lỗi nha

Answer 5

k=6,23

Answer 6

ko biết

Answer 7

hình như k = 6 thì phải

Answer 8

K=6,26

Answer 9

Đáp án đúng \(k=2.3.23\).

Như đã nói ở gợi ý 2 là cần \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\). Phân tích \(2^{23}-2\) ra thừa số nguyên tố được:

\(2^{23}-2=2.3.23.89.683\)

Vậy ta chỉ cần chọn trong các số nguyên tố cùng nhau này số nào là ước của \(n^{23}-n\) với mọi \(n\).

\(k\) sẽ là tích của chúng.

-----

Dễ dàng CM được \(n^{23}-n⋮2\).

Xét trường hợp \(n\) không chia hết cho \(3\).

Theo định lí Fermat nhỏ: \(n^2=1\)(mod \(3\)) suy ra \(n^{22}=1\) (mod \(3\)).

Vậy \(n^{23}=n\) (mod \(3\)) nghĩa là \(n^{23}-n⋮3\).

Xét trường hợp \(n⋮3\) hiển nhiên \(n^{23}-n⋮3\). Vậy \(n^{23}-n⋮3\) với mọi \(n\).

Theo định lí Fermat nhỏ (gợi ý 1) suy ra \(n^{23}=n\) (mod \(23\)) nên \(n^{23}-n⋮23\).

------

Ta sẽ chỉ ra tồn tại số \(n\) mà \(n^{23}-n\) không chia hết cho \(89\) và \(683\).

Ta có \(3^{11}=37\) (mod \(89\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=37^2.3=13\) (mod \(89\))

Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(89\).

Ta có \(3^{11}=250\) (mod \(683\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=250^2.3=358\) (mod \(683\))

Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(683\).

-----

Tổng hợp lại, \(k=2.3.23\) là lớn nhất có thể.