Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Quốc Đạt

Hãy tìm \(k\) nguyên lớn nhất có thể, biết với mọi số nguyên dương \(n\), số \(n^{23}-n\) luôn chia hết cho \(k\).

Gợi ý: Định lí Fermat nhỏ cho ta \(n^{23}-n\) chia hết cho \(23\) với mọi \(n\) nhé.

Gợi ý 2: Để \(n^{23}-n\) chia hết cho \(k\) với mọi \(n\) thì tối thiểu phải có \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\) đã.

ngonhuminh
16 tháng 1 2017 lúc 23:01

Tạm cho k=3

Mạc Thu Hà
17 tháng 1 2017 lúc 9:52

tớ thì nghĩ k=6

ngonhuminh
17 tháng 1 2017 lúc 11:27

có lẽ không đơn giản => k rất lớn

 giải

\(A=n\left(n^{22}-1\right)=n\left(n^{11}-1\right)\left(n^{11}+1\right)\) 

(*)Hiển nhiên A chia hết cho 2

(**) n^11 không có dang 3k+2=> A chia hết cho 3

Vậy k <=6.23 

Thái Viết Nam
17 tháng 1 2017 lúc 20:45

Khó vậy!

Mình mới lớp 7 Mình không biết định lý Fermat 

Xin lỗi nha

stela
19 tháng 1 2017 lúc 19:05

k=6,23

xuca
19 tháng 1 2017 lúc 19:38

ko biết

Nguyễn Công Tùng
20 tháng 1 2017 lúc 19:24

hình như k = 6 thì phải

Dương Hải Yến
20 tháng 1 2017 lúc 19:45

K=6,26

Trần Quốc Đạt
21 tháng 1 2017 lúc 8:24

Đáp án đúng \(k=2.3.23\).

Như đã nói ở gợi ý 2 là cần \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\). Phân tích \(2^{23}-2\) ra thừa số nguyên tố được:

\(2^{23}-2=2.3.23.89.683\)

Vậy ta chỉ cần chọn trong các số nguyên tố cùng nhau này số nào là ước của \(n^{23}-n\) với mọi \(n\).

\(k\) sẽ là tích của chúng.

-----

Dễ dàng CM được \(n^{23}-n⋮2\).

Xét trường hợp \(n\) không chia hết cho \(3\).

Theo định lí Fermat nhỏ: \(n^2=1\)(mod \(3\)) suy ra \(n^{22}=1\) (mod \(3\)).

Vậy \(n^{23}=n\) (mod \(3\)) nghĩa là \(n^{23}-n⋮3\).

Xét trường hợp \(n⋮3\) hiển nhiên \(n^{23}-n⋮3\). Vậy \(n^{23}-n⋮3\) với mọi \(n\).

Theo định lí Fermat nhỏ (gợi ý 1) suy ra \(n^{23}=n\) (mod \(23\)) nên \(n^{23}-n⋮23\).

------

Ta sẽ chỉ ra tồn tại số \(n\) mà \(n^{23}-n\) không chia hết cho \(89\) và \(683\).

Ta có \(3^{11}=37\) (mod \(89\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=37^2.3=13\) (mod \(89\))

Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(89\).

Ta có \(3^{11}=250\) (mod \(683\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=250^2.3=358\) (mod \(683\))

Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(683\).

-----

Tổng hợp lại, \(k=2.3.23\) là lớn nhất có thể.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Anh Tiên
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
Xem chi tiết
Hacker Ngui
Xem chi tiết
PeaPea
Xem chi tiết
Hắc Thiên
Xem chi tiết
hà phương
Xem chi tiết
Bành Quỳnh Phương
Xem chi tiết
trinh trung
Xem chi tiết
Đòan đức duy
Xem chi tiết