a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.
⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC
Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
GB = 2/3.BN (1)
GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)
GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = GM’ .
Xét ΔGMC và ΔG’MB có:
GM = G’M (chứng minh trên)
MC = MB
⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)
⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).
Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)
Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG, BG’.
* M là trung điểm GG’⇒ BM là đường trung tuyến ΔBGG.
Mà M là trung điểm BC ⇒ BM = ½ .BC (4)
Xét ΔIGG’ và ΔNGA có:
IG = GN (chứng minh trên)
GG’ = GA (Vì G là trung điểm AG’)
⇒ ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c)
⇒ G’I = AN (hai cạnh tương ứng)
Mà GC = BG’ (chứng minh phần a))
⇒ Nên PG = BK.
ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a)
Xét ΔPGB và ΔKBG có:
PG = BK (chứng minh trên)
BG chung
⇒ ΔPGB = ΔKBG (c.g.c)
⇒ PB = GK (hai cạnh tương ứng)
a. Gọi các đường trung tuyến của ΔABC là: AH (HB = HC), CI (IB = IA), BK (KA = CK)
Ta có: GA = GG' (GT) và GA = 2/3 AH (trọng tâm G) => GG' = 2/3AH
BG = 2/3 BK (trong tâm G)
Ta có: GH =1/2GA và GG' = GA => GH =1/2GG' => H là trung điểm của GG' (GH = HG')
Xét ΔBHG' và ΔCHG có:
BH = HC (cách dựng hình)
^BHG' = ^CHG (đối đỉnh)
HG' = HG (cmt)
Do đó: ΔBHG' = ΔCHG (c.g.c)
Mà CG = 2/3CI => BG' = 2/3CI
Vậy: GG' = 2/3 AH, BG = 2/3BK, BG' = 2/3CI
b, Ta có: AH là trung tuyến của ΔBGG' vì HG = HG' (cmt)
Gọi các trung tuyến còn lại của ΔBGG' là GE (EG' = EB), G'F (FB = FG)
Ta có: BH = HC= 1/2BC (cách dựng hình)
Xét ΔFGG' và ΔKGA có:
FG = KG (=1/3BK)
^FGG' = ^KGA (đối đỉnh)
AG = GG' (GT)
Do đó: ΔFGG' = ΔKGA (c.g.c)
=> FG' = KA (hai cạnh tương ứng)
Mà KA = KC = 1/2AC
=> FG' = 1/2AC
Vì ΔBHG' = ΔCHG (cmt) => ^HBE = ^ICB (hai góc tương ứng)
=> CI // BG' (TH: hai góc so le trong)
=> ^IGB = ^GBE (so le trong)
Vì BG' = CG (hai cạnh tương ứng) Mà BE = EG' =1/2BG' và GI = 1/2CG => BE = GI
Xét ΔBEG và ΔGIB có:
BE = GI (cmt)
^IGB = ^GBE (cmt)
GB : chung
Do đó: ΔBEG = ΔGIB (c.g.c)
=> BI = BE = 1/2AB
Vậy: BH =1/2BC, FG' = 1/2AC, GE = 1/2AB