Question

Gọi G, I, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh \(\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{IG}\)

help với ạ

Answer 1

Đây là bài toán toán nổi tiếng về đường thẳng Euler nè =)

*Dựng đường kính AK của (I). Gọi M là trung điểm BC.

Ta có: CK⊥AC và BH⊥AC, nên CK//BH. Chứng minh tương tự, BK//CH. Từ đó suy ra BHCK là hình bình hành. Mà M là trung điểm BC, nên M là trung điểm HK.

Để ý MI là đường trung bình của △AHK ứng với đỉnh A, nên AH//MI và \(AH=2MI\).

*AM cẳt HI tại G'. Theo định lí Thales, ta có: \(\dfrac{AH}{MI}=\dfrac{AG'}{MG'}=2\). Mặt khác AM là trung tuyến của △ABC nên G' là trọng tâm của △ABC, suy ra G' trùng G.

Theo định lí Thales, ta cũng có \(\dfrac{HG}{IG}=\dfrac{AH}{MI}=2\)\(\Rightarrow HG=2IG\)

\(\Rightarrow IH=IG+HG=IG+2IG=3IG\)

Vậy \(\overrightarrow{IH}=\dfrac{IH}{IG}\overrightarrow{IG}=3\overrightarrow{IG}\).