Question

gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giac có 3 duong cao h_a,h_b,h_c.chung minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ha^2+hb^2+hc^2}\ge4\)

Answer 1

Trong câu hỏi hay t có giải rồi đó. Vô đó xem đi

Answer 2

Câu hỏi của Fresh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo lời giải tại link trên nhé.

Answer 3

Ta có: AB = c; AC = b; BC = a.

Qua A vẽ đường thẳng d song song với BC. Lấy B' đối xứng với B qua d.

Dễ thấy BB' = 2h_a

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông BB'C, ta được:

\(BB'^2+BC^2=B'C^2\le\left(B'A+AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2h_a\right)^2+a^2\le\left(c+b\right)^2\)

\(\Rightarrow4h_a^2\le\left(c+b\right)^2-a^2\)

Tương tự ta có: \(\Rightarrow4h_b^2\le\left(c+a\right)^2-b^2\);\(\Rightarrow4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\)

Cộng từng  vế của các BĐT trên. ta được:

\(4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\text{Σ}_{cyc}\left(c+b\right)^2-a^2\)

\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

Vậy \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\left(đpcm\right)\)