Question

goi a,b,c la 3 canh cua ΔABC

biet \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=\)8

cm ΔABC deu

 

Answer 1

Ta thấy: a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a;b;c >0

Từ giả thiết, ta có: \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)(*)

Áp dụng BĐT AM-GM (với a;b;c > 0)\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)(**)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Từ (*) và (**) => \(a=b=c\) tức là \(\Delta\)ABC đều (đpcm).