1.
\(a+a^2+a^3+a^4+5a^5=4\)
\(\Leftrightarrow1+a+a^2+a^3+a^4=5\left(1-a^5\right)\)
\(\Leftrightarrow1+a+a^2+a^3+a^4=5\left(1-a\right)\left(1+a+a^2+a^3+a^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5\left(1-a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{4}{5}\\1+a+a^2+a^3+a^4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ dàng chứng minh (1) vô nghiệm, do:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a^2+\dfrac{a}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a+\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}=0\)
Tương tự, điều kiện thứ 2 cho ta:
\(1+b+...+b^6=5\left(1-b\right)\left(1+b+...+b^6\right)\)
Cũng do \(1+b+...+b^6>0\) nên suy ra \(5\left(1-b\right)=1\Rightarrow b=\dfrac{4}{5}\)
Do đó \(a=b=\dfrac{4}{5}\)
2.
Bài toán tổng quát: \(\dfrac{x^n+1}{y+1}+\dfrac{y^n+1}{x+1}\in Z\) với n là số nguyên dương lẻ
Thì \(x^{an}.y^{bn}-1\) chia hết cho cả \(x+1\) và \(y+1\) nếu a;b cùng lẻ
Bổ đề:
Cho 2 số hữu tỉ dương \(\dfrac{x}{a}\) và \(\dfrac{y}{b}\), nếu \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=1\\\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\in Z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}\in Z\\\dfrac{y}{b}\in Z\end{matrix}\right.\)
Chứng minh:
\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\in Z\Leftrightarrow\dfrac{xb+ya}{ab}\in Z\)
\(\Rightarrow xb+ya\) chia hết cho ab
\(\Rightarrow xb+ya\) chia hết cho cả a và b
\(xb+ya\) chia hết cho a nên \(xb\) chia hết cho a
Mà a;b nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow x\) chia hết cho a \(\Rightarrow\dfrac{x}{a}\in Z\)
Tương tự thì \(xb+ya\) chia hết cho b nên y chia hết cho b \(\Rightarrow\dfrac{y}{b}\in Z\)
Áp dụng:
Gọi \(d=ƯCLN\left(x+1;y+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=m.d\\y+1=n.d\end{matrix}\right.\) với \(\left(m;n\right)=1\)
Giả thiết tương đương:
\(\dfrac{m\left(x^{n-1}-x^{n-2}+...-x+1\right)}{n}+\dfrac{n\left(y^{n-1}-y^{n-2}+...-y+1\right)}{m}\in Z\)
Áp dụng bổ đề trên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m\left(x^{n-1}-x^{n-2}+...-x+1\right)}{n}\in Z\\\dfrac{n\left(y^{n-1}-y^{n-2}+...-y+1\right)}{m}\in Z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{md\left(x^{n-1}-x^{n-2}+...-x+1\right)}{nd}\in Z\\\dfrac{nd\left(y^{n-1}-y^{n-2}+...-y+1\right)}{md}\in Z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^n+1}{y+1}\in Z\\\dfrac{y^n+1}{x+1}\in Z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^n\equiv-1\left(mod\text{ }y+1\right)\\y^n\equiv-1\left(mod\text{ }x+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{an}\equiv-1\left(mod\text{ }y+1\right)\\y^{bn}\equiv-1\left(mod\text{ }x+1\right)\end{matrix}\right.\) với a;b lẻ
Mặt khác an và bn đều lẻ nên \(\left\{{}\begin{matrix}x^{an}\equiv-1\left(mod\text{ }x+1\right)\\y^{bn}\equiv-1\left(mod\text{ }y+1\right)\end{matrix}\right.\)
Suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^{an}.y^{bn}-1\equiv0\left(mod\text{ }x+1\right)\\x^{an}.y^{bn}-1\equiv0\left(mod\text{ }y+1\right)\end{matrix}\right.\)
giúp mik với ạ chỉ cần rút gọn 6 cái biểu thức thui ạ .mong mn giúp đỡ.
